để hai đường thẳng song song

Hai vật nhỏ cùng dao động điều hòa với tần số 0,5 Hz dọc theo hai đường thẳng song song với trục Ox. Vị trí cân bằng của hai vật nằm trên đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm O. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa hai vật theo phương Ox là 12cm. khoảng thời gian ngắn nhất để khoảng Khi đó, HM chính là đoạn vuông góc chung và d (∆, ∆') = HM = IJ. Phương pháp 2: Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng ∆ và song song với ∆'. Khi đó, d (∆, ∆') = d (∆', (α)). Phương pháp 3: Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa 2 đường thẳng. Khoảng cách giữa - Nhưng hai đường thẳng song song luôn đi bên nhau, luôn nằm cạnh nhau như thế này. Đường thẳng kia ơi, cho đường thẳng này xin lỗi nhé. Lần này anh tuy có chặt bớt cành lá cây lê, nhưng chỉ chặt ít thôi, cũng là cách kích thích cho cây ra thêm cành, nay mai cây lê của em vẫn Đi thẳng trên đại lộ Võ Văn Kiệt sẽ đến hầm Thủ Thiêm. Thông thường sẽ chỉ mất khoảng 15 phút để di chuyển từ Quận 1 đến hầm vượt. 4.2. Đi từ Quận 9 hoặc Quận Thủ Đức Từ Quận 9 hoặc Quận Thủ Đức có thể đến hầm Thủ Thiêm thông qua tuyến đường Xa Lộ Hà Nội → ngã ba Cát Lái → đường mới Thủ Thiêm. Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. Tính chất nào sau đây không phải là tính chất của hình lăng trụ đứng? Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình bình hành. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình chữ nhật. Le Meilleur Site De Rencontre Totalement Gratuit. Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10Chuyên đề luyện thi vào 10 Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, vuông góc hoặc trùng nhauTìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, vuông góc hoặc trùng nhau là dạng toán rất phổ biến trong các bài thi Toán 9 và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để giúp các em làm tốt dạng toán này, VnDoc gửi tới các bạn một số bài tập cơ bản và nâng cao, giúp các em ôn luyện và nắm vững các dạng toán về Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, vuông góc hoặc trùng ảnh minh họa tài liệuTrên đây, VnDoc đã gửi tới các bạn một số dạng Toán Tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau hoặc vuông góc với nhau. Đây là tài liệu hay giúp các em nắm vững kiến thức về đường thẳng song song, cắt nhau và trùng nhau; nắm được các dạng toán khác nhau, từ đó chuẩn bị tốt cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 sắp khảo thêmTìm m để d cắt P tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 9/2Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi mTính m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấuTìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhấtTìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện cho trước 1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng tong không gian. Trong không gian cho hai đường thẳng a và b. Khi đó có các khả năng sau a. Có một mặt phẳng chứa hai đường thẳng a và b. Lúc này ta bảo rằng a và b đồng phẳng. Khi đó, ta có các khả năng sau i a và b có một điểm chung duy nhất M. Lúc này ta nói rằng a và b cắt nhau tại M và viết hay ii a và b không có điểm chung. Lúc này ta nói rằng a và b song song với nhau và viết iii a và b trùng nhau. Ta viết b. Không có mặt phẳng nào chứa a và b. Lúc này, ta nói hai đường thẳng chéo nhau. Định nghĩa. Hai đường thẳng gọi là song song với nhau nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung. Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng 2. Các tính chất Định lí 1. Qua một điểm A cho trước không nằm trên đường thẳng a cho trước có duy nhất một đường thẳng b đi qua A và song song với đường thẳng a. Định lí 2. Định lý giao tuyến về ba mặt phẳng Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau. Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng nếu có song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với hai đường thẳng đó. Định lí 3. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. Bổ trợ kiến thức Toán lớp 9 cơ bảnTìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông gócCho hai đường thẳng y = ax + b và y’ = a’x + b’Ví dụ hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông gócBài tập trắc nghiệm hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông gócBài tập tự luận hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông gócTìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc được VnDoc đăng tải và chia sẻ để bạn đọc cùng tham khảo. Tài liệu này sẽ tổng hợp lý thuyết và đưa ra các bài tập cụ thể nhằm giúp các em nắm vững và áp dụng vào giải các dạng bài tập liên xác định chính xác được điều kiện để các đường thẳng song song, cắt, trùng, vuông góc giúp học sinh áp dụng được vào các bài toán chứng minh hình học như Tính diện tích, chu vi, thể tích của 1 hình. Chúc các em học tốt môn hai đường thẳng y = ax + b và y’ = a’x + b’1. Hai đường thẳng vuông góc với nhau = Hai đường thẳng song song với nhau a = a’ và b ≠ b’.3. Hai đường thẳng cắt nhau a ≠ a’.4. Hai đường thẳng trùng nhau a = a’ và b = b’.Hai đường thẳng được cho là vuông góc với nhau khi chỉ số a x a’= -1. Khi đó, chúng gặp nhau và tạo thành 1 góc 90 độ. Trường hợp song song là khi chỉ số a = a’ và b ≠ b’, trong trường hợp này thì 2 đường thẳng không có điểm chung và không giao nhau tại 1 số thời điểm. Khi chỉ số a ≠ a’ sẽ dẫn đến trường hợp 2 đường thẳng giao nhau. Trùng nhau ở trường hợp a = a’.Ví dụ hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông gócVí dụ 1 Tìm m để hai đường thẳng y = m + 1x – 3 và y = 2m – 1x + 4a Song songb Vuông dẫn giảia y = m + 1x – 3 và y = 2m – 1x + 4 song song⇔ m + 1 = 2m – 1⇔ m = m = y = m + 1x – 3 và y = 2m – 1x + 4 vuông góc⇔ m + 12m – 1 = -1⇔ 2m2 + m – 1 = -1⇔ 2m2 + m = 0⇔ m2m + 1 = 0Vậy với m= 0 hoặc m = -1/2 thì hai đường thẳng trên vuông dụ 2a Tìm đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x + 1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng Tìm đường thẳng vuông góc với đường thẳng y = 1/3x + 4 và đi qua A2; -1.Hướng dẫn giảia Gọi đường thẳng cần tìm là d y = ax + b.d song song với đường thẳng y = 2x + 1 ⇒ a = 2.d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4 ⇒ b = đường thẳng cần tìm là y = 2x + Gọi đường thẳng cần tìm là d’ y = kx + md vuông góc với đường thẳng y = 1/3x + 4 ⇔ k. 1/3 = -1 ⇔ k = -3.d đi qua A2; -1 ⇔ -1 = 2k + m = 2.-3 + m ⇔ m = đường thẳng cần tìm là y = -3x + tập trắc nghiệm hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông gócBài 1 Đồ thị của hàm số y = 2x + 1 và y = 2x – 1 A. Song songB. Vuông gócC. Cắt nhauD. Trùng giảiĐáp án ABài 2 Đường thẳng y = 2x + 1 vuông góc với đường thẳng nào dưới đây ?A. y = 2x + 3B. y = -2x + 3C. y = 1/2xD. y= -1/2xLời giảiĐáp án DBài 3 Đường thẳng y = 2m – 3x + 1 và đường thẳng y = -x + 3 song song nhau thì giá trị của m là A. -1B. 0C. 1D. 2Lời giảiĐáp án CBài 4 Hai đường thẳng y = m – 2x + 3 và y = mx – 1 vuông góc với nhau thì giá trị của m là A. m = 0B. m = 1C. m = 2D. m = giảiĐáp án BBài 5 Hàm số có đồ thị vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1 và đi qua điểm A-1 ; 2 là A. y = 2x + 4B. y = y = -1/2x + 3/2D. y = -1/2x - 3/2 .Lời giảiĐáp án CBài tập tự luận hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông gócBài 1 Tính góc tạo bởi hai đường thẳng y = -3x + 1 và y = 1/ dẫn giảiĐường thẳng d1 y = -3x + 1 có hệ số góc k1 = -3Đường thẳng d2 y = 1/3x có hệ số góc k2 = 1/3 .Ta có k1. k2 = -1⇒ d1 ⊥ d2.Hay góc tạo bởi d1 và d2 là 2 Cho hai đường thẳng d1 y = 2 – m2x + m – 5 và d2 y = mx + 3m – Tìm m để d1 // Có giá trị nào của m để d1 và d2 trùng nhau không ?Hướng dẫn giảia d1 // d2⇔ m = d1 và d2 trùng nhau ⇔ m = 3 Cho đường thẳng d y = -2x + 1. Xác định đường thẳng d’ đi qua M-1 ; 2 và vuông góc với dẫn giảiGọi đường thẳng cần tìm là y = kx + md’ vuông góc với d ⇔ k.-2 = -1 ⇔ k = 1/2 .d’ đi qua M-1; 2 ⇔ 2 = k.-1 + m hay m = 2 + k = 5/2 .Vậy đường thẳng cần tìm là y = 1/2x + 5/2 .Bài 4 Cho đường thẳng d y = 2x + 1 và điểm M1 ; 1. Xác định hình chiếu của M lên đường thẳng d.Hướng dẫn giải+ Tìm đường thẳng d’ y = kx + m qua M và vuông góc với dd’ vuông góc với d ⇔ = -1 ⇔ k = -1/2 .d’ đi qua M1; 1 ⇔ ⇔ m = 1/2 .Vậy d’ y = -1/2x + 1/2 .+ Hình chiếu H của M trên d chính là giao điểm của d và d’.Hoành độ điểm H là nghiệm của phương trình2x +1 = -1/2x + 1/2 ⇔ x = -1/5 ⇒ y = 3/5 .Vậy hình chiếu của M trên d là H -1/5; 3/5........................................................................Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc vừa được gửi tới bạn đọc. Mời các bạn tham khảo thêm các tài liệu môn Toán lớp 9 trên VnDoc để học tốt Toán giúp các bạn có thể giải đáp được những thắc mắc và trả lời được những câu hỏi khó trong quá trình học tập. mời bạn đọc cùng đặt câu hỏi tại mục hỏi đáp học tập của VnDoc. Chúng tôi sẽ hỗ trợ trả lời giải đáp thắc mắc của các bạn trong thời gian sớm nhất có thể nhé. Chứng minh hai đường thẳng song song là dạng toán cơ bản nhưng luôn xuất hiện trong các bài toán hình học. Đây là một kiến thức quan trọng trong hinh học Toán lớp 7. Vậy cách chứng minh hai đường thẳng song song như thế nào? Thông báo Giáo án, tài liệu miễn phí, và các giải đáp sự cố khi dạy online có tại Nhóm giáo viên mọi người tham gia để tải tài liệu, giáo án, và kinh nghiệm giáo dục nhé! Cách chứng minh hai đường thẳng song song. Để chứng minh hai đường thẳng song song, các bạn sẽ có 6 phương pháp sau PP chỉ ra hai góc so le bằng nhauĐường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b tạo thành hai góc so le A1 và B1 bằng nhau =>hai đường thẳng a và b song song với nhau. PP chỉ ra hai góc đồng vị bằng nhauĐường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b tạo thành hai góc đồng vị A3 và B1 bằng nhau => hai đường thẳng a và b song song với nhau. PP chỉ ra hai góc trong cùng phía bù nhauĐường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b tạo thành hai góc A và B có tổng bằng 180o => hai đường thẳng a và b song song với nhau. PP chỉ ra hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ baĐường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b, khi đó c cùng vuông góc với a và b => hai đường thẳng a và b song song với nhau. PP sử dụng tiên đề ƠclitChứng minh hai đoạn thẳng nằm trên đường thẳng a cùng song song với b => hai đường thẳng a và b song song với nhau. Tầm quan trọng của đường thẳng song song. Trong hình học, hai đường thẳng song song sẽ là yếu tố giúp các bạn giải quyết bài toán. Hãy vận dụng giải nhiều bài tập sễ nắm vững các phương pháp chứng minh. Hãy tham khảo bài tập vận dụng bên dưới. Sưu tầm Thu Hoài Bài viết trình bày định nghĩa, phương pháp chứng hai đường thẳng song song trong không gian và một số ví dụ minh họa điển hình, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Hình học 11 chương 2 đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song nghĩa Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm pháp chứng minh hai đường thẳng song song Để chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian, ta sử dụng một trong các cách sau đây + Cách 1. Chứng minh chúng đồng phẳng rồi sử dụng các định lí đường trung bình, Thales đảo … quen thuộc trong hình học phẳng. + Cách 2. Chứng minh chúng cùng song song với đường thẳng thứ ba. + Cách 3. Dùng hệ quả Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng dụ minh họa Ví dụ 1 Cho hình chóp $ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. a Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $SAB$ và $SCD.$ b Đường thẳng qua $D$ và song song $SC$ cắt mặt phẳng $SAB$ tại $I.$ Chứng minh $AI$ song song $SB.$a Mặt phẳng $SAB$ chứa $AB$, mặt phẳng $SCD$ chứa $CD$ mà $AB // CD$ nên $St = mp SCD ∩ mp SAB$ với $St // AB // CD.$ b Trong mặt phẳng $SCD$, đường thẳng qua $D$ và song song $SC$ cắt $St$ tại $I.$ Do $St ⊂ mp SAB$ $⇒I ∈ mp SAB.$ Ta có $SI // CD$ và $SC // DI$ nên $SIDC$ là hình bình hành. Do đó $SI // = CD.$ Mà $CD // = AB$ nên $SI // = AB.$ Tứ giác $SIAB$ là hình bình hành nên $AI // SB.$Ví dụ 2 Cho hình chóp $ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB$ song song $CD$ và $AB > CD.$ Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $SA$, $SB.$ a Chứng minh $MN$ song song $CD.$ b Tìm giao điểm $J$ của $SC$ và mặt phẳng $ADN.$ c $AN$ và $DJ$ cắt nhau tại $I$. Chứng minh $SI // AB$ và $SA // IB.$a Ta có $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ nên $MN // AB$, mà $AB // CD$ nên $MN // CD.$ b Trong mặt phẳng $ABCD$, $AD$ cắt $BC$ tại $E.$ Trong mặt phẳng $SBC$, $NE$ cắt $SC$ tại $J.$ $J ∈ NE$ $⇒ J ∈ mp ADN.$ Vậy $J$ là giao điểm $SC$ và $ADN.$ c Ta có $AB ⊂ mp SAB.$ $CD ⊂ mp SCD.$ $AB // CD.$ $SI$ là giao tuyến của mặt phẳng $SAB$ và mặt phẳng $SCD.$ Vậy $SI // AB // CD.$ Ta có $SI // MN$ vì cùng song song với $AB$, mà $M$ là trung điểm $SA$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ASI.$ Do đó $\overrightarrow {SI} = 2\overrightarrow {MN} $ mà $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {MN} $ nên $\overrightarrow {SI} = \overrightarrow {AB} .$ Vậy $ABIS$ là hình bình hành, suy ra $SA // IB.$Ví dụ 3 Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ lần lượt là trọng tâm các $ΔBCD$, $ΔACD$, $ΔABD$, $ΔABC.$ Gọi $G$ là giao điểm $AA_1$ và $BB_1.$ Chứng minh a $\frac{{AG}}{{A{A_1}}} = \frac{3}{4}.$ b $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ đồng Gọi $I$ là trung điểm $CD.$ Trên mặt phẳng $IAB$, ta có $\frac{{I{B_1}}}{{IA}} = \frac{{I{A_1}}}{{IB}} = \frac{1}{3}$ $ \Rightarrow {A_1}{B_1}//AB$ và $\frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}} = \frac{1}{3}.$ $ \Rightarrow \frac{{GA}}{{G{A_1}}} = \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}} = 3$ $ \Rightarrow \frac{{GA}}{{G{A_1} + GA}} = \frac{3}{{3 + 1}} = \frac{{AG}}{{A{A_1}}}$ $1.$ b Tương tự, gọi ${G’} = A{A_1} \cap D{D_1}$, ta có $\frac{{G’A}}{{A{A_1}}} = \frac{3}{4}$ $2.$ Tương tự, gọi $G” = A{A_1} \cap C{C_1}$, ta có $\frac{{G”A}}{{A{A_1}}} = \frac{3}{4}$ $3.$ Từ $1$, $2$ và $3$, suy ra $\frac{{G’A}}{{A{A_1}}} = \frac{{G”A}}{{A{A_1}}} = \frac{{GA}}{{A{A_1}}}$ $ \Rightarrow G \equiv G’ \equiv G”.$Ví dụ 4 Cho hình chóp $ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Lấy $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt trên $BC$, $SC$, $SD$, $AD$ sao cho $MN // SB$, $NP // CD$, $MQ // AB.$ a Chứng minh $PQ // SA.$ b Gọi $K$ là giao điểm $MN$ và $PQ.$ Chứng minh $SK // AD // BC.$a Do $MQ//AB \Rightarrow \frac{{DQ}}{{DA}} = \frac{{CM}}{{CB}}$ $1.$ Do $MN//SB \Rightarrow \frac{{CM}}{{CB}} = \frac{{CN}}{{CS}}$ $2.$ Do $NP//CD \Rightarrow \frac{{CN}}{{CS}} = \frac{{DP}}{{DS}}$ $3.$ Từ $1$, $2$ và $3$, suy ra $\frac{{DQ}}{{DA}} = \frac{{DP}}{{DS}}$ $ \Rightarrow PQ///SA.$ b Mặt phẳng $SAD$ và $SBC$ đã có chung điểm $S.$ $K \in NM \Rightarrow K \in SBC.$ $K \in PQ \Rightarrow K \in SAD.$ Vậy $SK = SAD \cap SBC.$ Ta có $AD \subset SAD$, $BC \subset SBC$, mà $AD//BC.$ Vậy $SK = SAD \cap SBC$ thì $SK//AD//BC.$Ví dụ 5 Cho hình chóp $ có $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $OB.$ Gọi $I$ là giao điểm của $SD$ và mặt phẳng $AMN.$ Tính tỉ số $\frac{{SI}}{{ID}}.$Trong mặt phẳng $ABCD$, gọi $E$ và $F$ là giao điểm của $AN$ với $CD$ và $BC.$ Trong mặt phẳng $SCD$, gọi $I$ là giao điểm của $EM$ và $SD.$ $I ∈ ME$ $⇒ I ∈ mp AMN.$ Vậy $I$ là giao điểm của $SD$ và mặt phẳng $AMN.$ Ta có $BF//AD$ $ \Rightarrow \frac{{BF}}{{AD}} = \frac{{NB}}{{ND}}$ $ = \frac{{\frac{1}{2}OB}}{{OD + \frac{1}{2}OB}} = \frac{{\frac{1}{2}OB}}{{\frac{3}{2}OB}} = \frac{1}{3}$ $ \Rightarrow BF = \frac{1}{3}AD$ $ \Rightarrow CF = \frac{2}{3}AD.$ Ta có $CF//AD$ $ \Rightarrow \frac{{EC}}{{ED}} = \frac{{CF}}{{AD}} = \frac{2}{3}.$ Trong mặt phẳng $SCD$ vẽ $CJ//SD$ $J \in EI$. Ta có $\frac{{JC}}{{ID}} = \frac{{EC}}{{ED}} = \frac{2}{3}$ $1.$ $JC//SI$ $ \Rightarrow \frac{{CJ}}{{SI}} = \frac{{MC}}{{MS}} = 1$ $ \Rightarrow CJ = SI$ $2.$ Từ $1$ và $2$ suy ra $\frac{{SI}}{{ID}} = \frac{2}{3}.$Ví dụ 6 Cho hình lập phương $ cạnh $a.$ Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $A’B’$, $C’B’$, $CC’$, $AA’.$ a Chứng minh tứ giác $MNPQ$ là hình thang cân. b Tính chu vi và diện tích tứ giác $MNPQ$ theo $a.$a Ta có $MN$ là đường trung bình của tam giác $A’B’C’$ nên $MN//A’C’$ $1.$ Ta có $\overrightarrow {A’Q} = \frac{1}{2}\overrightarrow {A’A} $ và $\overrightarrow {C’P} = \frac{1}{2}\overrightarrow {C’C} .$ Mà $\overrightarrow {A’A} = \overrightarrow {C’C} $ nên $\overrightarrow {A’Q} = \overrightarrow {C’P} .$ Do đó $A’QPC’$ là hình bình hành nên $PQ // A’C’$ $2.$ Từ $1$ và $2$ suy ra $PQ//MN.$ Ta có $\Delta A’MQ = \Delta C’PN$ $ \Rightarrow MQ = NP.$ Vẽ $MH$ và $NK$ vuông góc với $PQ.$ Ta có $\Delta MHQ = \Delta NKP$ nên $\widehat {MQH} = \widehat {NPK}.$ Do đó $MNPQ$ là hình thang Ta có $MN = \frac{{A’C’}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$ $PQ = A’C’ = a\sqrt 2 .$ $NP = MQ = \frac{a}{2}\sqrt 2 .$ Do đó chu vi tứ giác $MNPQ$ là $\frac{{a\sqrt 2 }}{2} + a\sqrt 2 + 2\left {\frac{a}{2}\sqrt 2 } \right = \frac{{5a\sqrt 2 }}{2}.$ Do $\Delta MQH = \Delta NKP$ nên $HQ = KP.$ Vậy $KP = QH = \frac{1}{2}PQ – HK$ $ = \frac{1}{2}PQ – MN$ $ = \frac{1}{2}\left {a\sqrt 2 – \frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}.$ Do tam giác $NPK$ vuông $ \Rightarrow N{K^2} = N{P^2} – K{P^2}$ $ = \frac{{{a^2}}}{2} – \frac{{{a^2}}}{8} = \frac{{6{a^2}}}{{16}}.$ Vậy diện tích tứ giác $MNPQ$ là $\frac{1}{2}NKMN + PQ$ $ = \frac{{a\sqrt 6 }}{8}\left {\frac{{a\sqrt 2 }}{2} + a\sqrt 2 } \right = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{8}.$Ví dụ 7 Cho tam giác $ABC$ nằm trong mặt phẳng $α.$ Gọi $Bx$, $Cy$ là hai nửa đường thẳng song song nằm về cùng phía đối với mặt phẳng $α.$ Gọi $M$ và $N$ là hai điểm di động trên $Bx$, $Cy$ sao cho $CN = 2BM.$ a Chứng minh $MN$ luôn qua một điểm cố định $I$ khi $M$, $N$ di động. b Lấy $E$ thuộc đoạn $AM$ với $EM = \frac{1}{3}AE$, $IE$ cắt $AN$ tại $F$, $BE$ cắt $CF$ tại $Q.$ Chứng minh $AQ$ song song $Bx$ và $Cy$, và mặt phẳng $QMN$ chứa một đường thẳng cố định khi $M$, $N$ di Trong mặt phẳng $Bx, Cy$, gọi $I$ là giao điểm của $MN$ và $BC.$ Do $MB // NC$ nên $\frac{{IB}}{{IC}} = \frac{{MB}}{{NC}} = \frac{1}{2}$ $ \Rightarrow IB = 2IC$, suy ra $B$ là trung điểm $IC.$ Vậy $MN$ di động luôn qua $I$ cố định. b Ta có $Q \in BE \Rightarrow Q \in mpABM.$ $Q \in CF \Rightarrow Q \in mpANC.$ Vậy $AQ = mp ABM ∩ mp ANC.$ Mà hai mặt phẳng $ABM$ và mặt phẳng $ANC$ lần lượt chứa hai đường thẳng song song $BM$ và $NC.$ Do đó $AQ // BM // NC.$ Ta có $MB // AQ$ $ \Rightarrow \frac{{MB}}{{AQ}} = \frac{{EM}}{{EA}} = \frac{1}{3}.$ Gọi $K$ là giao điểm của $MQ$ và $BA$ ta có $\frac{{KB}}{{KA}} = \frac{{MB}}{{AQ}} = \frac{1}{3}$ $ \Rightarrow KB = \frac{1}{3}KA.$ Vậy $K$ cố định. Ta có $K ∈ MQ ⇒ K ∈ mp MNQ.$ $I ∈ MN ⇒ I∈ mp MNQ.$ Do đó mặt phẳng $QMN$ di động nhưng luôn chứa đường thẳng cố định $IK.$ [ads] Ví dụ 8 Cho tam giác $ABC.$ Từ $A$, $B$, $C$ vẽ các nửa đường thẳng song song cùng chiều $Ax$, $By$, $Cz$ không nằm trong mặt phẳng $ABC.$ Trên $Ax$, $By$, $Cz$ lần lượt lấy đoạn $AA’ = a$, $BB’ = b$, $CC’ = c.$ Gọi $I$, $J$, $K$ lần lượt là giao điểm $B’C’$, $A’C’$, $A’B’$ với mặt phẳng $ABC.$ Gọi $G$, $G’$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và tam giác $A’B’C’.$ a Chứng minh $\frac{{IB}}{{IC}} \cdot \frac{{JC}}{{JA}} \cdot \frac{{KA}}{{KB}} = 1.$ b Chứng minh $GG’ // AA’.$ Tính $GG’$ theo $a$, $b$, $c.$Ta có $CC’//BB’ \Rightarrow \frac{{IB}}{{IC}} = \frac{{BB’}}{{CC’}} = \frac{b}{c}.$ $CC’//AA’ \Rightarrow \frac{{JC}}{{JA}} = \frac{{CC’}}{{AA’}} = \frac{c}{a}.$ $AA’//BB’ \Rightarrow \frac{{KA}}{{KB}} = \frac{{AA’}}{{BB’}} = \frac{a}{b}.$ Do đó $\frac{{IB}}{{IC}} \cdot \frac{{JC}}{{JA}} \cdot \frac{{KA}}{{KB}} = \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} \cdot \frac{a}{b} = 1.$ b Gọi $H$, $H’$ là trung điểm $CB$ và $C’B’.$ $HH’$ là đường trung bình của hình thang $CC’B’B$ nên $HH’//BB’//AA’//CC’$ $1.$ $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ $ \Rightarrow \frac{{AG}}{{AH}} = \frac{2}{3}.$ $G’$ là trọng tâm tam giác $A’B’C’$ $ \Rightarrow \frac{{A’G’}}{{A’H’}} = \frac{2}{3}.$ Vậy $\frac{{AG}}{{AH}} = \frac{{A’G’}}{{A’H’}} \Rightarrow GG’//HH’$ $2.$ Từ $1$ và $2$ suy ra $GG’//AA’.$ Gọi $M$ là giao điểm $AH’$ và $GG’.$ Ta có $G’M//AA’ \Rightarrow \frac{{G’M}}{{AA’}} = \frac{{H’G’}}{{H’A’}} = \frac{1}{3}$ $ \Rightarrow G’M’ = \frac{a}{3}.$ Ta có $MG//HH’ \Rightarrow \frac{{MG}}{{HH’}} = \frac{{AG}}{{AH}} = \frac{2}{3}$ $ \Rightarrow MG = \frac{2}{3}HH’$ $ = \frac{2}{3}\frac{{BB’ + CC’}}{2} = \frac{{b + c}}{3}.$ Do đó $GG’ = MG’ + MG = \frac{{a + b + c}}{3}.$Ví dụ 9 Cho hình chóp $ có đáy là hình thang $ABCD$ với đáy $AD$ và $BC$ có $AD = a$, $BC = b$ với $a > b.$ Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trọng tâm $ΔSAD$, $ΔSBC$, $SB$ và $SC$ cắt mặt phẳng $ADJ$ tại $M$, $N$, $SA$, $SD$ cắt mặt phẳng $BCI$ tại $P$, $Q.$ a Chứng minh $MN$ song song $PQ.$ b Giả sử $AM$ cắt $BP$ tại $E$, $CQ$ cắt $DN$ tại $F.$ Chứng minh $EF$ song song $MN$ và $PQ.$ Tính $EF$ theo $a$ và $b.$a Ta có $I \in IBC \cap SAD.$ Ta có $\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {AD//BC}\\ {AD \subset SAD}\\ {BC \subset IBC} \end{array}} \right\}$ $ \Rightarrow SAD \cap IBC = PQ.$ Với $I∈PQ$ và $PQ//AD//BC.$ Tương tự $J \in JAD \cap SBC.$ $\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {AD//BC}\\ {AD \subset JAD}\\ {BC \subset SBC} \end{array}} \right\}$ $ \Rightarrow JAD \cap SBC = MN.$ Với $J \in MN$ và $MN//AD//BC.$ Do đó $MN//PQ.$ b Ta có $\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathop E\limits^. \in AM \Rightarrow E \in AMND}\\ {E \in PQ \Rightarrow E \in BPCQ} \end{array}} \right\}$ $ \Rightarrow E \in AMND \cap BPCQ.$ Ta có $\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {F \in DN \Rightarrow F \in AMND}\\ {F \in CQ \Rightarrow E \in BPCQ} \end{array}} \right\}$ $ \Rightarrow F \in AMND \cap BPCQ.$ Vậy $EF = AMND \cap BPCQ.$ Ta có $\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {MN \subset AMND}\\ {PQ \subset BPCQ}\\ {MN//PQ} \end{array}} \right\}$ $ \Rightarrow EF//PQ//MN.$ Gọi $K$ là giao điểm $EF$ và $PC.$ Ta có $EK//BC$ $ \Rightarrow \frac{{KE}}{{BC}} = \frac{{PE}}{{PB}}.$ Do $I$ là trọng tâm tam giác $SAD$ và $PI//AD$ $ \Rightarrow \frac{{SP}}{{AS}} = \frac{2}{3}.$ Do $J$ là trọng tâm tam giác $SBC$ và $MJ//BC$ $ \Rightarrow \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{2}{3}.$ Do đó $\frac{{SP}}{{SA}} = \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{2}{3}$ $ \Rightarrow PM//AB$ $ \Rightarrow \frac{{PE}}{{EB}} = \frac{{PM}}{{AB}}.$ Mà $\frac{{PM}}{{AB}} = \frac{{SP}}{{SA}} = \frac{2}{3}.$ Do đó $\frac{{PE}}{{EB}} = \frac{2}{3}$ $ \Rightarrow \frac{{EK}}{{BC}} = \frac{{PE}}{{PB}} = \frac{{PE}}{{PE + EB}}$ $ = \frac{1}{{1 + \frac{{EB}}{{PE}}}} = \frac{1}{{1 + \frac{3}{2}}} = \frac{2}{5}$ $ \Rightarrow EK = \frac{2}{5}BC = \frac{2}{5}b.$ Tương tự $KF = \frac{2}{5}a.$ Vậy $EF = EK + KF = \frac{2}{5}a + b.$Bài tập tự luyện Bài tập 1 Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$, $R$, $S$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$, $BC$, $AD$, $AC$, $BD.$ a Chứng minh $MNPQ$ là hình bình hành. b Chứng minh $MN$, $PQ$, $RS$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi tập 2 Cho hình chóp $ có đáy $ABCD$ là hình thang có cạnh bên $AD$, $BC.$ a Xác định giao tuyến $d$ của $SAB$ và $SCD.$ b Gọi $M$, $N$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAD$ và $SBC.$ Chứng minh $d // MN.$Bài tập 3 Cho hai hình bình hành $ABCD$, $ABEF$ không cùng nằm trên một mặt phẳng. a Chứng minh $CE // DF.$ b Gọi $M$, $N$ là hai điểm trên $AC$, $AD$ sao cho $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AD}} = m.$ Gọi $H$, $K$ là hai điểm trên $BF$ và $AF$ sao cho $\frac{{FK}}{{FA}} = \frac{{FL}}{{FB}} = n$ với $m,n \in 0;1$. Chứng minh $MN // KL.$ c Cho $m = \frac{2}{5}$ và $n = \frac{3}{5}$. Chứng minh $NK // DF.$Bài tập 4 Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AC$, $BC.$ Gọi $R$ là điểm trên $BD$ sao cho $BR = 2RD.$ a Xác định $E$, $F$ là giao điểm của $RPQ$ với $CD$, $AD.$ b Tìm giao tuyến của $PQR$ và $ABE.$ c Chứng minh $R$, $F$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $BCE$ và $ACE.$ d Chứng minh $FR // PQ.$ e Tính tỉ số diện tích mà mặt phẳng $PQR$ chia cắt tam giác $ACD.$Bài tập 5 Cho hình chóp $ có $ABCD$ là hình bình hành tâm $O.$ Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SC$, $OB.$ a Tìm giao điểm $I$ của $SD$ và $AMN.$ b Tính $\frac{{SI}}{{ID}}.$Bài tập 6 Cho hình chóp $ có đáy là tứ giác lồi, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD.$ Gọi $M$, $N$, $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $SA$, $SB$, $SC$, $SD.$ Chứng minh a $ME // AC$ và $NF // BD.$ b Ba đường thẳng $EM$, $NF$, $SO$ đồng quy. c Bốn điểm $M$, $N$, $E$, $F$ đồng tập 7 Cho hình chóp $ có đáy là hình chữ nhật. Gọi $M$, $N$, $E$, $F$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB$, $SBC$, $SCD$ và $SDA.$ a Chứng minh tứ giác $MNEF$ là hình thoi. b Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD.$ Chứng minh $ME$, $NF$ và $SO$ đồng tập 8 Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $BD.$ Lấy $E$ trên $AD$ $E ≠ A, D.$ a Xác định mặt cắt của tứ diện và $IJE.$ b Tìm vị trí của điểm $E$ trên $AD$ sao cho thiết diện là hình bình hành. c Tìm điều kiện của $ và vị trí $E$ trên $AD$ sao cho thiết diện là hình thoi.

để hai đường thẳng song song